Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak_Shakira Alzena X MIPA 1

 Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatu, Salam sehat untuk kita semua

Om Swastiastu

Namo Buddhaya

Salam Kebajikan 

Halo semuanya, nama saya Shakira Alzena dari X MIPA 1 SMAN 63 Jakarta. Kembali lagi dengan saya, kali ini saya akan membahas materi tentang Persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak Matematika Wajib kelas X. Simak pembahasannya ya👍

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Pada pelajaran matematika terdapat berbagai jenis bilangan. Bilangan-bilangan tersebut dikelompokkan berdasarkan sifattertentu. Salah satu bilangan tersebut adalah bilangan real. Lebih lanjut, pada bilangan real terdapat istilah yang disebut nilai mutlak.

Nilai mutlak juga dapat disebut nilai suatu bilangan real tanpa tanda positif atau negatif

Nilai mutlak lambangnya | | menyatakan jarak dan nilainya selalu positif. Atau 0 atau | p | ≥ untuk setiap bilangan real p. Sifatnya adalah:

·         │-x│=│x│

·         │x – y│ = │y – x│

·         │x│=√(𝑥^2 ) , 

·         │x│2^ - x^2

·         │x.y│=│x││y│, 

·         │x – y│2 = (x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 

·         │x + y│2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 

·         Dalam segitiga berlaku │a + b│≤│a│+│b│

·         Dalam segitiga berlaku │a – b│≥│a│+│b│ 

·         │a + b│≠│a│+│b│ dan │a –  b│≠│a│ – │b│ 

Contoh nilai mutlak:

1. │x – y│^2 = (x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 ,   

│12 – 9│2^ = (12 – 9)^2 = 12^2 – 2.12.9 + 9^2 ,

3^2 = 3^2 = 144 – 216 + 81

 9 = 9 = 9  

2. │x + y│^2 = (x + y)2 = x^2 + 2xy + y^2

│3 + 4│^2 = (3 + 4)^2 = 3^2 + 2.3.4 + 4^2 ,   

│7│2^ = 7^2 = 9 + 24 + 16,

7²  = 49 = 49 

Sifat Persamaan Nilai Mutlak

1. Jika p ≥ 0 │f(x)│ = p ↔ f(x) = p atau f(x) = – p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari  2x + |3x – 8| = – 4

2x + |3x – 8| = – 4  --> |3x – 8| = – 4 – 2x  --> |3x – 8| = (– 4 – 2x)

                                                         (3x – 8) = (– 4 – 2x)  atau (3x – 8) = – (– 4 – 2x)

                                                            3x – 8 = – 4 – 2x    atau    3x – 8 = 4 + 2x  

                                                                  5x = 4 atau  x = 12 

                                                                    x = 4/5 atau  x = 12,  Jadi Hp {4/5, 12}

2. │f(x) │= │g(x) │↔ f(x) = g(x) atau f(x) = – g(x), 

    │f(x)│ = │g (x) │ ↔ │f(x)│^2  = │g(x)│2^ ↔ [f(x) +g(x)] [f(x) – g(x)] = 0, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari  │2x – 1│ = │x + 2│

f(x) = g(x) atau f(x) = – g(x)  2x – 1 = x + 2 atau 2x – 1 = – (x + 2)

                                                     2x – x = 2 + 1 atau 2x – 1 = – x – 2

                                                              x = 3  atau 2x + x =  – 2 + 1   

                                                              x = 3 atau   3x  =  – 1 --> x =  – ⅓  jadi Hp {– ⅓, 3}

│f(x)│ = │g (x) │ ↔ │f(x)│2^  = │g(x)│2^ ↔ [f(x) +g(x)] [f(x) – g(x)] = 0,

│2x – 1│ = │x + 2│ ↔ (2x – 1)^2 = (x + 2)^2  

                             --> 4x^2 – 4x + 1 = x^2 + 4x + 4 

                             --> 4x^2 – x^2 – 4x – 4x + 1 – 4 = 0  

                             --> 3x^2 – 8x – 3 = 0  (3x + 1)(x – 3) = 0 

                                                            3x + 1 = 0 dan x – 3 = 0 

                                                        -->     3x = – 1 dan x = 3 

                                                         -->       x = – ⅓ dan x = 3 jadi Hp {– ⅓, 3}

3. a │f(x)│ + b │g(x) │ + c = 0, solusinya cek setiap interval yang sesuai dengan definisi │f(x)│ dan │g(x)│.

 Himpunan penyelesaian 3│3x – 1,5│ = 4⦁2 │3x – 1,5│ – 30 adalah: 

|3𝑥−1,5|= {(3𝑥−1,5), 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 3𝑥−1,5≥0 →𝑥 ≥0,5

                {−(3𝑥−1,5),  𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 −3𝑥+1,5<0 →𝑥<0,5)   

Cek pada garis bilangan    A    0,5  B   .

Daerah A untuk │3x – 1,5│ yang digunakan – 3x + 1,5   

                 pada soal 3│3x – 1,5│ = 4⦁2 │3x – 1,5│ – 30 

                  menjadi 3(– 3x + 1,5) = 8(– 3x + 1,5) – 30 

                                      – 9x + 4,5 = – 24x + 12 – 30

                                     – 9x + 24x = 12 – 30 –  4,5 

                                                15x = – 22,5 

                                                 30x = – 45

                                                     x = – 1,5  

B. PERTIDAKSAMAAN  NILAI MUTLAK

Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

·         │f(x)│ < p ↔ – p < f(x) < p

·         │f(x)│ ≤ p ↔ – p ≤ f(x) ≤ p

·         │f(x)│ > p ↔ f(x) > p atau f(x) < – p

·         │f(x)│ ≥ p ↔ f(x) ≥ p atau f(x) ≤ – p

·         │f(x)│< │g (x) │ ↔ │f(x)│2^  < │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] < 0

·         │f(x)│ ≤ │g (x) │ ↔ │f(x)│2^   ≤ │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] ≤ 0

·         │f(x)│ > │g (x) │ ↔ │f(x)│2^   > │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] > 0 

·         │f(x)│ ≥ │g (x) │ ↔ │f(x)│2^   ≥ │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] ≥ 0 

·         |𝑓(𝑥)| / |𝑔(𝑥)| <𝑎 ↔ |𝑓(𝑥) | < 𝑎 |𝑔(𝑥)| 

·         a │f(x)│ + b │g(x) │ + c ≥ 0

Contoh pertidaksamaan nilai mutlak

1. │f(x)│ < p ↔ – p < f(x) < p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari |x – 9 |< 2 

maka −2 < x – 9 < 2  --> 7 < x < 11 jadi Hp { 7 < x < 11} 

2. │f(x)│ ≤ p ↔ – p ≤ f(x) ≤ p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari │2x + 1│ ≤ – 5 

↔ hasil dari nilai mutlak tidak mungkin negatif maka  Hp { } atau himpunan kosong

Tentukan himpunan penyelesaian dari │3x + 2│ ≤ 5 

↔ – 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5   -- – 7 ≤ 3x ≤ 3 

                                --> −7/3 ≤ x ≤ 1 --> Hp {−7/3 ≤ 𝑥 ≤ 1}

3. │f(x)│ > p ↔ f(x) > p atau f(x) < – p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari │3x + 5)│ > 2 

↔ 3x + 5 > 2 atau 3x + 5 < – 2

          3x > – 3 atau  3x < – 7

            x > – 1 atau     x < −7/3    -->   Hp {x > – 1 atau x < −7/3}

4.│f(x)│<│ g(x) │ ↔ │ f(x) │2^ < g(x)│2^  ↔ [f(x)+g(x)][f(x)–g(x)]<0, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari │x + 2│< │x – 3│ 

↔ │x+2│2 <│x–3│2 ↔ [(x+2)+(x–3)][(x+2)–(x–3)]<0

x^2 + 4x + 4<x^2 –6x+9 ↔ [x+2+x–3][x+2–x+3]<0

       10 x < 5   ↔   [2x – 1][5] < 0

            x < ½   ↔  10x – 5 < 0 --> x < ½ 

Hp {x < ½}

Soal cerita nilai mutlak

1. Sekelompok siswa berdiri menempuh jarak 1 km dengan waktu rata-rata 15 menit. Catatan waktu lari tiap siswa bisa lebih cepat atau lebih lambat 1,5menit dari waktu rata-rata.  Tulislah persamaan nilai mutlak berdasarkan kasus tersebut. Tentukan kecepatan lari maksimum dan minimum yang ditempuh sekelompok siswa tersebut.
Jawaban a) Pertidaksamaan nilai mutlaknya berbentuk |x − a| ≤ b dengan a sebagai rata-rata dari nilai dan b sebagai simpangan terjauh. Dari masalah di atas, pertidaksamaan nilai mutlak yang sesuai adalah |x − 15| ≤ 1,5 

Jawaban b) Akan diselesaikan pertidaksamaan nilai mutlaknya sebagai berikut. |x − 15| ≤ 1,5 ⇔ −1,5 ≤ x − 15 ≤ 1,5 ⇔ 13,5 ≤ x ≤ 16,5 Jadi, waktu lari maksimum dan minimum yang ditempuh siswa adalah 13,5 menit atau 16,5 menit.

2. Seorang bayi lahir prematur di sebuah rumah sakit dengan berat badan 2,2 kilogram. Bayi tersebut harus dirawat di dalam inkubator selama beberapa hari untuk mengatur suhu tubuhnya agar tetap stabil. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara 30∘C sampai 35∘C selama 3 hari. Diketahui jika berat badan berada dalam interval 2 kg – 2,5 kg, maka suhu inkubator yang harus dipertahankan adalah 32∘C. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0,35∘C, hitunglah interval perubahan suhu inkubator.

Karena berat badan bayi 2,2 kg dan berada dalam interval 2 kg – 2,5 kg, maka suhu inkubator yang harus dipertahankan adalah 32∘C. Karena simpangan terjauhnya 0,35∘C, maka dapat dibentuk model matematika berupa pertidaksamaan nilai mutlak berbentuk |x−a|≤b dengan a sebagai suhu ideal dan b sebagai simpangan terjauh. Dari masalah di atas, pertidaksamaan nilai mutlak yang sesuai adalah |x−32|≤0,35 Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh −0,35 ≤ x − 32 ≤ 0,35 Tambahkan 32 pada ketiga ruas sehingga didapat 31,65 ≤ x ≤ 32,35. Jadi, interval perubahan suhu inkubator adalah 31,65∘ C ≤ x ≤ 32,35∘ C

3. Bella mengukur seutas tali dengan panjang 17,4 cm. Hasil pengukuran selalu memiliki kesalahan sehingga terjadi penyimpangan sebesar 0,05 cm. Sederhanakan soal tersebut dalam bentuk nilai mutlak dan tentukan batas-batas pengukuran dari panjang tali tersebut.

Pertidaksamaan nilai mutlak yang sesuai dengan permasalahan di atas dengan x sebagai panjang tali hasil pengukuran adalah |x−17,4|<0,05. Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh  |x−17,4| < 0,05

−0,05 < x − 17,4 < 0,05

−0,05 + 17,4 < x < 0,05 + 17,4

17,35 < x < 17,45

Jadi, batas-batas pengukuran dari panjang tali tersebut adalah 17,35 cm dan 17,45cm.

Cukup sampai disini pembahasan saya tentang materi Persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak. Saya harap para pembaca yang membaca blog saya ini dapat memahami materi yang saya sampaikan.

Terimakasih

Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh