Nama: Shakira Alzena
Kelas: X MIPA 1
Absen: 28
Assalamualaikum Warahmatullahi wabarakatuh. Salam sehat semua. Kembali lagi dengan saya Shakira Alzena. Pada kesempatan kali ini saya akan membahas materi SPLTV yaitu Sitem Persamaan Linear Tiga Variabel matematika wajib kelas 10. Simak pembahasannya ya
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel atau disingkat dengan SPLTV memiliki pengertian sebagai bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Bedanya, persamaan linear tiga variabel terdiri dari tiga persamaan yang masing-masing persamaan memiliki tiga variabel (misal x, y dan z).
Ciri – Ciri Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Berikut ini merupakan ciri – ciri dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV):
- Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)
- Memiliki tiga variabel
- Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)
Komponen Pembentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Terdapat empat komponen penting yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV), yaitu: variabel, konstanta, koefisien, dan suku
SPLTV ini dapat kita selesaikan dengan cara metode gabungan dan metode determinan matriks
A. METODE GABUNGAN
Penyelesaian SPLTV dengan metode gabungan dilakukan dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi terlebih dahulu lalu menggunakan metode subtitusi, atau sebaliknya. Contoh soal
1. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?
Penyelesaian:
Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
x + 3y + 2z = 33.000
2x + y + z = 23.500
x + 2y + 3z = 36.500
Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut. ● Eliminasi variabel x pada persamaan 1 dan 2
x + 3y + 2z | = | 33.000 | |× 2| | → | 2x + 6y + 4z | = | 66.000 |
|
2x + y + z | = | 23.500 | |× 1| | → | 2x + y + z | = | 23.500 | − |
|
|
|
|
| 5y + 3z | = | 42.500 |
● Eliminasi variabel x pada persamaan 2 dan 3
x + 3y + 2z | = | 33.000 |
|
x + 2y + 3z | = | 36.500 | − |
y – z | = | −3.500 |
y | = | z – 3.500 |
|
Subtitusikan y = z – 3.500 ke persamaam 5y + 3z = 42.500 sehingga diperoleh:
⇒ 5y + 3z = 42.500
⇒ 5(z – 3.500) + 3z = 42.500
⇒ 5z – 17.500 + 3z = 42.500
⇒ 8z – 17.500 = 42.500
⇒ 8z = 42.500 + 17.500
⇒ 8z = 42.500 + 17.500
⇒ 8z = 60.000
⇒ z = 7.500
Subtitusikan nilai z = 7.500 ke persamaan y = z – 3.500 sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.
⇒ y = z – 3.500
⇒ y = 7.500 – 3.500
⇒ y = 4.000
Terakhir subtitusikan nilai y = 4.000 dan nilai z = 7.500 ke persamaan x + 3y + 2z = 33.000 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ x + 3y + 2z = 33.000
⇒ x + 3(4.000) + 2(7.500) = 33.000
⇒ x + 12.000 + 15.000 = 33.000
⇒ x + 27.000 = 33.000
⇒ x = 33.000 – 27.000
⇒ x = 6.000
Dengan demikian, harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00; harga 1 kg salak adalah Rp4.000,00; dan harga 1 kg apel adalah Rp7.500,00
2. Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angka itu sama dengan 9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya. Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3. Carilah bilangan itu.
Penyelesaian:
Misalkan bilangan yang dimaksud adalah abc, dengan a menempati tempat ratusan, b menempati tempat puluhan dan c menempati tempat satuan. Ketentuan dalam soal adalah sebagai berikut.
■ Jumlah ketiga angka sama dengan 9 berarti:
a + b + c = 9
■ Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya berarti:
100a + 10b + c = 14(a + b + c)
100a + 10b + c = 14a + 14b + 14c
100a – 14a + 10b – 14b + c – 14c = 0
86a – 4b – 13c = 0
■ Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3 berarti:
c – b – a = 3
atau bisa kita tulis sebagai berikut
a + b – c = −3
Dari sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.
a + b + c = 9
86a – 4b – 13c = 0
a + b – c = −3
Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode gabungan yaitu sebagai berikut.
● Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 2
a + b + c | = | 9 | |× 4| | → | 4a + 4b + 4c | = | 36 |
|
86a – 4b – 13c | = | 0 | |× 1| | → | 86a – 4b – 13c | = | 0 | + |
|
|
|
|
| 90a – 9c | = | 36 |
|
|
|
|
| 10a – c | = | 4 |
|
● Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 3
a + b + c | = | 9 |
|
a + b – c | = | −3 | − |
2c | = | 12 |
c | = | 6 |
|
Subtitusikan nilai c = 6 ke persamaan 10a – c = 4 sehingga diperoleh nilai a sebagai berikut.
⇒ 10a – c = 4
⇒ 10a – 6 = 4
⇒ 10a = 4 + 6
⇒ 10a = 10
⇒ a = 1
Terakhir subtitusikan nilai a = 1 dan c = 6 ke persamaan a + b + c = 9 sehingga kita peroleh nilai b sebagai berikut.
⇒ a + b + c = 9
⇒ 1 + b + 6 = 9
⇒ b + 7 = 9
⇒ b = 9 – 7
⇒ b = 3
Karena nilai a = 1, b = 3 dan c = 6 maka bilangan tersebut adalah 126
B. METODE DETERMINAN
Metode determinan sering juga disebut dengan metode cramer. Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Determinan dapat pula digunakan untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear baik dua variabel (SPLDV) maupun tiga variabel (SPLTV). Contoh soal
1. Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.
2x + y + z = 12
x + 2y – z = 3
3x – y + z = 11
Jawab:
■ Mengubah SPLTV ke bentuk matriks
Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.
Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.
■ Menentukan nilai D
D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]
D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]
D = 0 − 9
D = −9
■ Menentukan nilai Dx
Dx | = | 12 | 1 | 1 | 12 | 1 |
3 | 2 | −1 | 3 | 2 |
11 | −1 | 1 | 11 | −1 |
Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]
Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]
Dx = 10 − 37
Dx = −27
■ Menentukan nilai Dy
Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]
Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]
Dy = −19 – (–1)
Dy = −18
■ Menentukan nilai Dz
Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]
Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]
Dz = 41 − 77
Dz = −36
■ Menentukan nilai x, y, z
Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.
Dan sekian dari saya. Saya harap materi SPLTV yang saya bahas kali ini bermanfaat bagi para pembaca yang membacanya.
Wassalamulaikum warahmatullahi wabarakatuh
DAFTAR PUSTAKA
https://edura.id/blog/matematika/sistem-persamaan-linear-tiga-variabel/#:~:text=Sistem%20Persamaan%20Linear%20Tiga%20Variabel%20(SPLTV)%20adalah%20suatu%20persamaan%20matematika,masing%20persamaannya%20juga%20bervariabel%20tiga.
https://dosenpintar.com/spltv/
https://www.konsep-matematika.com/2015/09/sistem-persamaan-linear-tiga-variabel-spltv.html
https://www.kelaspintar.id/blog/edutech/sistem-persamaan-linear-tiga-variabel-dan-metode-penyelesaiannya-3129/
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/11/penyelesaian-SPLTV-metode-determinan.html
http://files1.simpkb.id/guruberbagi/rpp/153532-1600787902.pdf
Komentar
Posting Komentar