Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi_Shakira Alzena/X MIPA 1
Nama:
Shakira Alzena
Kelas: X
MIPA 1
Assalamualaikum
warahmatullahi wabarakatuh. Kembali lagi di blog saya, Shakira Alzena, kelas X
MIPA 1. Pada kesempatan kali ini, saya
akan membahas materi “Komposisi fungsi dan Invers fungsi”. Materi matematika
wajib kelas 10. Simak pembahasannya ya
A. Komposisi
Fungsi
Pengertian
Komposisi Fungsi
Fungsi
komposisi yaitu penggabungan operasi pada dua jenis fungsi f (x) dan g (x)
hingga menghasilkan fungsi baru. Operasi fungsi komposisi biasa yaitu
dilambangkan dengan “o” dan dibaca dengan komposisi atau bundaran.
Fungsi baru
yang bisa terbentuk dari f (x) dan g (x) yaitu:
(f o g)(x) =
g dimasukkan ke f
(g o f)(x) =
f dimasukkan ke g
Rumus Komposisi
Fungsi
Dari rumus
tersebut, definisi yang di dapat ialah :
Jika f : A →
B ditentukan rumus y = f (x)
Jika g : B →
C ditentukan rumus y = g (x)
Jadi, hasil
fungsi g dan f :
h (x) = (g o
f)(x) = g( f(x))
Dari
penjelasan tersebut bisa disimpulkan bahwa fungsi yang melibatkan fungsi f dan
g bisa ditulis :
(g o f)(x) =
g (f(x))
(f o g)(x) =
f (g(x))
Contoh
Soal
1. Diketahui fungsi f (x) = 3x − 1 dan g (x) = 2×2 + 3.
Nilai dari komposisi fungsi ( g o f )(1) =….?
Pembahasan:
Diketahui:
f (x) = 3x −
1 dan g (x) = 2×2 + 3
( g o f )(1)
=…?
Masukkanlah
f (x) nya pada g (x) lalu isi dengan 1
(g o f) (x)
= 2 (3 x − 1) 2 + 3
(g o f) (x)
= 2 (9 x 2 − 6x + 1) + 3
(g o f) (x)
= 18x 2 − 12x + 2 + 3
(g o f) (x)
= 18×2 − 12x + 5
(g o f) (1)
= 18 (1) 2 − 12(1) + 5 = 11
Jawaban: 11
2. Diberi
dua buah fungsi:
f (x) = 2x −
3
g (x) = x2 +
2x + 3
Jika (f o
g)(a) adalah 33, tentukanlah nilai dari 5a
Pembahasan:
Cari
terlebih dahulu (f o g)(x)
(f o g)(x)
sama dengan 2(x2 + 2x + 3) − 3
(f o g)(x)
sama dengan 2×2 4x + 6 − 3
(f o g)(x)
sama dengan 2×2 4x + 3
33 sama
dengan 2a2 4a + 3
2a2 4a − 30
sama dengan 0
a2 + 2a − 15
sama dengan 0
Faktorkan:
(a + 5)(a −
3) sama dengan 0
a = − 5
ataupun a sama dengan 3
Hingga
5a = 5(−5) =
−25 atau 5a = 5(3) = 15
Jawaban: 15
3. Jika (f o
g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Berapakah nilai dari f(3)?
Pembahasan:
(f o g)(x)
sama dengan x² + 3x + 4
f (g(x))
sama dengan x² + 3x + 4
g(x) sama
dengan 3 Jadi,
4x – 5 sama
dengan 3
4x sama dengan
8
x sama
dengan 2
f (g(x)) =
x² + 3x + 4 dan untuk g(x) sama dengan 3 didapat x sama dengan 2
Hingga : f
(3) = 2² + 3 . 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14
Jawaban: 14
4. Jika f(x)
= 3x + 2 dan g(x) = 4x2 . Maka (f o g)(x) dan (g o f)(x) adalah …
Pembahasan:
(f o g)(x) =
f (g(x))
(f o g)(x) =
f (4x2)
(f o g)(x) =
3(4x2) + 2
(f o g)(x) =
12x2 + 2
(g o f)(x) =
g(f(x))
(g o f)(x) =
4(3x + 2)2
(g o f)(x) =
4(9x2 + 12x + 4)
(g o f)(x) =
36x2 + 48x + 16
Jadi, (f o g)(x) = 12x2 + 2 dan (g o f)(x) = 36x2 +
48x + 16.
5. Diberikan
f(x) = 2x + 6, carilah fungsi invers dari f(x) !
Pembahasan:
f(x) = 2x +
6
y = 2x + 6
2x = y – 6
x = ½y – 3
f-1(x) = ½x
– 3
Jadi, fungsi invers dari f(x) adalah f-1(x) = ½x – 3.
6. Jika (f o
g) (x) = x + 4, dan g(x) = x – 2. Maka carilah invers dari fungsi f(x).
Pembahasan
(f o g) (x)
= x + 4
f(g(x)) = x
+ 4
f(x – 2) = x
+ 4
Misal u = x
– 2, maka x = u + 2, sehingga
f(x – 2) = x
+ 4
f(u) = u + 2
+ 4
f(u) = u + 6
f(x) = x + 6
y = x + 6
x = y – 6
f-1(x) = x –
6
Jadi, invers dari fungsi f(x) adalah f-1(x) = x – 6.
B. Invers
Fungsi
Pengertian
Invers Fungsi
Fungsi invers atau fungsi kebalikan merupakan suatu
fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya. Suatu fungsi f memiliki fungsi
invers (kebalikan) f-1 jika f merupakan fungsi satu-satu dan fungsi pada (bijektif).
Hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
(f-1)-1 =
f
Ada 3 langkah untuk menentukan fungsi invers, yaitu:
1. Ubahlah
bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).
2. Tuliskan
x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y) = f(y).
3. Ubahlah
variabel y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers f-1(x).
Rumus Invers Fungsi
Contoh soal
1. Tentukan fungsi invers dari h(x) = ³√x+2!
Pembahasan:
h(x) = ³√x+2
y = ³√x+2
y+2 = ³√x
x = (y+2)³
h-1(x) = (x+2)³
2. Tentukan fungsi invers
dari f(x) = 2 – 2x!
Pembahasan:
f(x) = 2 – 2x
y = 2 – 2x
2x = 2 – y
x = 2−y2\frac {2 -
y} {2}
Ganti x = f-1(x)
dan y = x sehingga diperoleh f-1(x) = 2−x2\frac {2 - x} {2} = 1 – 1/2x
3.
Tentukan fungsi invers dari f(x) = x2 – 2x + 1!
Pembahasan:
y
= x2 – 2x + 1
y
= (x – 1)2.
x
– 1 = y\sqrt {y}
x
= y\sqrt {y} + 1
f-1(x)
= x\sqrt {x} + 1
f-1(4) = 4\sqrt {4}
+ 1 = 2 + 1 = 3
4. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2x² + 5!
Penyelesaian:
f(x) = 2x² + 5y =
2x² + 5
y-5 = 2x²
(y-5)/2 = x²
x = √[(y-5)/2]
f-1(x) = √[(x-5)/2]
5. Tentukan fungsi invers dari g(x) = (2x – 1)/6!
Penyelesaian:
g(x) = (2x – 1)/6
y = (2x – 1)/6
6y = 2x – 1
6y+1 = 2x
x = (6y+1)/2
g-1(x) = (6x+1)/2
Daftar Pustaka
Komentar
Posting Komentar